計算機アプリなんて誰でも作れるよな？

皮肉を込めて言ってるみたい。ここでの”自然に”は、著者が特定の感情セットを表現したかったってこと。例えば、役に立たない人をチームに残してしまったことへの腹立たしさや、”しょうがない”って受け入れる感情が含まれてる。書いた人は”しょうがない”の遊び心で言ったみたいで、チーム内で和気藹々としてるみたい。ちょっとAIっぽく聞こえたらごめんね。

特にこのチャレンジに備えて準備してたのに、予想通りに来た課題に対して解決策が見えなかったってのは皮肉だね。

”皮肉的に”って言えばいいじゃん？

他のコメントが良い解説してたから賛同するよ。”自然に”って言葉が少しユーモラスで、結果が皮肉であっても期待すべきことのように思わせる。

新しい実数の定義を作ってて、これは実数の基礎に良さそう。今は”rational betweenness relations”って呼んでる。これ、すべての実数を含む有理的区間のセットのことだよ。

これ、Dedekind cutsに似た感じだね。でも、不等号 < と > でリアルな数を越えたものだ。いいウェブサイトだ。

私の論文が示すように、Dedekind cutsと同等だよ。Dedekind cutsは区間の下界を集めて上界を捨てる感じなんだけど、役立つように整理するためには上界とのペアが必要なんだ。

x = sqrt(2) と y = sqrt(2) - epsilonの時にx - yの答えってどうなるの？

数値的な設定でしか区別できないんだ。これは弱点みたいに感じるかもだけど、不正確なものを扱うのが正直な方法だ。真の解を求めるために、十分な計算で有理の下限と上限を計算できるよ。

＞あなたは解の最初の桁さえ書けないだろう

理性的な区間を使えば、計算の基盤になるし、UXは区間全体の真実を表示するオプションか、直感的に理解するために中央値や中間値を表示する選択肢もあるだろうね。多分それはその場のユーザーの選択になる。

あの子は超長いπをどうやって計算したんだろう？

最後のリンクが短縮されててクリックできないのは残念。こっちが本物のリンクだよ： https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/3385412.3386037

指摘してくれてありがとう。今は修正したはずだ。短縮はツイートを下書きするために使ったエディタ（“Buffer”）によるものだったから、意図的にリンクをトラッキングするつもりはなかったんだけど、クリック数を見る手段としては良いかもしれない。

全然関係ないけど、12歳の頃にプログラミングを学ぼうとした時のことを思い出す。参考書でちょっと学びながら、C++で簡単な計算機を作ったけど、次にどう進めばいいかわからなくて、母がITスクールを探してくれたんだ。セールスウーマンが「完全パッケージ」を推して、Cプログラミングの基礎とMicrosoft Excelなどの不要なトピックも入ってた。俺がもっと進んだことを学びたいって聞いても、あの人は俺の成果を過小評価して「計算機を作っただけじゃ誰でもできる」って言ったんだ。でも結局、俺は無知だったし、あの人はセールスがうまかったし、知識欲に負けて契約しちゃった。結局、プログラミングセクションはコンピュータサイエンスの表面をかすめるだけだったよ。教えてくれる人も多分いなかったし。学んだことは、セールスパーソンを信じちゃダメってこと。今の子供たちはオンラインでプログラミングを学ぶのがずっと簡単で良かった。

いい話だね。シェアしてくれてありがとう。俺も当時「メッセージパッシング」ってなんだろうと悩んでたけど、後でWin32 APIのウィンドウプロシージャ（WNDPROC）に過ぎないってわかった。<泣き顔>

たぶん、ITに関することを教える学校だよ。昔は俺の国（インド）で人気だった。でも今はプログラミングや組み込みをそれなりに幅広く教えるところがたくさんあるよ、大規模なブートキャンプみたいなやつではなく。

あの人が「計算機を作っただけ？それは誰でもできる」と言ったことを思い出すとムカつく。この自分の成し遂げたことを過小評価するのは教育者として最悪だし、彼女が悪者に思える。

俺も似たような道を歩んだよ。学校を通じてコンピュータの追加の授業を受けたら、10歳ぐらいでこの証明書を持ってることになった。だからOfficeもそれなりに熟知してたけど、招待状をExcelで作ったらかっこよくてさ。個別に印刷してた。幸運にも、理解してくれる先生がいて、フロッピーディスクでウェブページのテンプレートをくれて、Notepadで編集して実際に動かしてみることができた。

セールスパーソンは世界のがん。

利益追求の教育が問題だよね。

タイトルを見て笑っちゃった。計算数学の背景があるから、内容が何になるかだいたい想像がついた。IEEE 754は民主主義みたいなもので、最悪なものの中では一番マシだけど、シンプルなことが実は奥が深いって再確認したよ。

IEEE 754は、数値の動的範囲を広くし、精度を保ちながら、ビット幅を固定することで、スピードと精度をバランスを取ってる。計算機工学者はこの標準が必ずしも計算機に使われると考えてなかったはずだよ。

William KahanはIEEE 754とHP計算機の両方に関わってたよ。当時、8087と計算機のスピード差はそれほど大きくなかった。

1987年にビリオンやトリリオンの演算は合わないな。

いいポイント！ちなみにCray-2はIEEE 754浮動小数点を使ってなかったよ。

Crayは浮動小数点を使ってたけど、IEEE標準の浮動小数点ではなかったんだ。浮動小数点演算はトランジスタよりも古いよ。

そうだよ、仕様をリンクしたよ。

彼らが古すぎてサポートできなかったのは分かるけど、IEEE-754の設計者は基準を作るときにこれらのシステムを意識してたはずだよ。

何言ってるの？確かに大きな数字よりも、０から１の範囲の方が精度高いはずじゃない？

数値の精度って相対的に考えられることが多いよね。すべての浮動小数点数は同じビット数の精度を持ってるから。この範囲では半分が-1から1の間にあるのが事実だし、精度は均一だから。

普通の浮動小数点数だけがその性質を持ってて、サブノーマルは違うんだ。例えば単精度浮動小数点では、０.000000000000000000000000000000000000000000002は存在しなくて、０.000000000000000000000000000000000000000000001から０.000000000000000000000000000000000000000000003に直接飛ぶんだ。だから、精度は実質一桁もないよ。

そうだね、サブノーマルはゼロに近づくにつれて精度が徐々に失われるんだ。

サブノーマルは、必要な人のためにゼロ周辺に少し余裕を持たせるための汚いハックだよ。ハードウェアでも実際にはあまりサポートされてないし、普通の状況で使うのは間違い。

2025年には、IntelとAMDがようやくハードウェアサポートを実装したみたいだね。Zen 2とIce Lakeに到達するまで待ったんじゃなかったっけ。

おお、やっと来たね！でも計算はほぼ８ビットの“floats”で動くようになるところだね。

IEEE 754は、符号や指数、分数のアイデアから始めて、それを可能な限り効率的なハードウェアの実装にしたものだよ。美しいとは言えないけど、見た目はシンプルだし、-0やサブノーマル、あらゆる丸めモードみたいな奇妙に見える部分もその前提から自然に出てくるんだ。民主的に設計されたわけじゃないけど、数値計算の専門家とハードウェア設計の専門家が一緒になって作ったんだ。単純化された浮動小数点の実装は、最終的には必ずIEEEの標準に戻ってくるよ。

もう一つの見方として、浮動小数点は固定小数点演算を対数空間で拡張して、大きな数オーダーの扱いを可能にするものだよ。“美しい”って言う言葉が適切かは分からないけど、信じられないくらい堅固なお手本のエンジニアリングだね。

あなたの説明は、IEEE-754 floatsの設計に対して意図したよりもネガティブに感じるかも。何か他にもっと良い案があったと思うの？もしかしたら誤解してるかも。ハードウェアの焦点が大きな指数と小さな仮数を生んでる要因かもね。非IEEEで我が思い付きにあるのはbfloat16のようにfloat32の最上位半分だけを使うものや、log8のようにほぼすべて指数にしたものかな。どちらもメモリ帯域幅を最大限活用するためのものだし、基本操作はf32 + x * y -> f32（つまりf32結果に掛け算して累積する）だよね。もしかしたら、これらはIEEEの標準にも組み込まれるかも。

サブノーマル嫌いな人もいるけど、確かにIntelじゃ遅いし、Armでもちょっと遅いからな。IEEE 754に関してはあんまり好き嫌いはないけど、-0だけは勘弁。これにはほんとに膨大な時間を費やしたわ。オレ的には、これは機能に見せかけたエンコーディングのアーティファクトだと思う。

＞”符号、指数、そして分数のアイデアから始めて、最も効率的なハードウェア実装を思いついた結果がこれだ。美しいとは言えないけど、スタート地点からはストレートに導き出される。”この文脈での「美しい」の定義が奇妙に思えるね。

IEEE754は純数学には向いてないけど、実生活には問題ないよ。実際には、ダブルで得られる52ビットの精度を持つ計測器なんてないし、10の1000乗の範囲の数量なんて遭遇しないからね。画面にピクセルを描く時、原子レベルまで気にする必要はない。なので、リアルな例では通常のIEEE 754算術を改善する方法は、区間算術が良いかも。数学には向かないけど、測定誤差に対応できるしね。計算機では精度が大事だけど、ユーザーが現実の数値使ってるか抽象数学やってるか分からないからね。

IEEE754は実生活には問題ないかもしれないけど、単純な数式を使った時に、入力や出力が普通でも意外に複雑な中間値に遭遇しちゃうことがあるから、注意が必要だよね。

精度エラーがシステム内で蓄積されると問題になるよね。一回の計算がちょっと外れたっていうよりも、複数の計算を重ねていくと、最終的にはかなりずれてくるから。これってアホみたい？

＞”IEEE 754は民主主義みたいなもので、最悪だけど他の選択肢よりはましな感じだ。”それより悪いのは思いつかないな。コンピュータの本来の目的は正確な結果を出すことだから、コンピュータに不正確な数学システムを導入するのは本末転倒だよ。正確な結果を出せる別の数学解決法の方が良さそうな気がするな。

時には、1.近似 2.コンパクトで速い 3.広いダイナミックレンジを持つ数値システムが必要になるんだ。これらの条件を満たすなら、浮動小数点より優れたものを作るのは難しいよ。

＞”正確な結果が出ない限り、何かをやり遂げるのは難しい。IEE-754は表現サイズに対する誤差がひどい距離を持っている。”どんなシステムが正確な結果を出すのか、固定サイズで数値を表し、合理的な整数で1/nを正確に表現し、指数も正確なシステムなんて知らないな。

電子コンピュータは、人間のコンピュータ（スライドルールや機械的な加算機を使ってた）より速く、安く作られるために生まれたんだ。人間のコンピュータは限られた精度の小数点浮動数を扱ってたからね。

＞”ほとんどの場合において、正確な結果なんて存在しない。”自分の望む精度で十分なほど正確な結果しか得られないんだ。

コンピュータでの工学計算には理想的だよ。値を正確に測定できることなんてないから、1-1=0が正確かどうかは誰も気にしないしね。シングル精度で十分だけど、ダブル精度は中間結果に使っても見た目の誤差が出ないからいい感じ。数値的に不安定なアルゴリズム使わなければだけど。

「正確」ってどういう意味？

コンピュータのメモリは有限だけど、実数は無限にあって、どんな実数システムでも四捨五入は避けられないよ。

NYCの地下鉄の運賃は$2.90だよ。iOSのPCalc使ってメトロカードの残り値を計算したら、AC, 8.7, m+, 2.9, m-, m-, m-で-8.881784197E-16が出ちゃった。Appleの計算機じゃこうならないみたい。開発者に聞いたら、”Appleは独自の数学ライブラリを使っているから、俺もなんとかしなきゃ”ってさ。

初代BlackBerry用の計算機を作ったんだけど、浮動小数点は使えなかったんだ。丸め誤差を避けるために十進法の浮動小数点を実装した。難しくはなかったけど、”指数部”はビットシフトじゃなくて、割り算に使う10のべき乗を扱ってたから、0.1や0.001が正確に表現できたんだ。

＞”指数部”はビットシフトじゃなくて、割り算に使う10のべき乗を扱ってたから、0.1や0.001が正確に表現できたんだ。意味するのは、10のべき乗で割り算するってこと？

びっくりした、君はすごい機械装置を作ってるだけだと思ったよ。RIMのページャーにJVMがあると思ったけど、実際はあまり使わなくて、メールにしか使ってなかったな。

JVM搭載のデバイスは数年後の話だよ。これは1998年で、386ベースのBlackBerryページャーだからメールだけしかできなかった。電話もできなくて、その当時は二方向ページングが未来に見えたんだ。RIMは後に電話ネットワークに移行したけど、iPhoneとAndroidの登場でトラブルにあったよ。

そうだ、そのページャーだった。ポケットデバイスの中で最高のキーボードだったから、君の計算機も少し使ったよ。

どうやら彼はただの定番の数学関数を使ってるだけみたいだね。JavascriptとPythonも同じだから、8.7から(2.9×3)を引いた結果をすぐ保存するのと変わらない。

ちゃんとした計算機アプリなんてほとんど誰も作ってないんだよね。本当にちゃんとしたのはTI-89みたいな完全な計算機だよ。今Androidでエミュレーター使ってTI-89計算機を動かしてるけど、半分の機能も持ってるアプリがないんだ。